但是，到เ了十九世纪，有人证明了欧几里得的公理是可以用某些方式来加以改变的，因而可以建立另外一种不同的几何学，即“非欧几里得几何学”这两种几何学虽然各不相同，但每一种几何学都不具有内在矛盾。从此以后，人们如果要问哪一种几何学是真几何学，就没有意义了。如果要问，就只能ม问哪一种几何学更有用些。
事实上，我们可以用许多组公理来建立几种各不相同但又各自并不具有内在矛盾的数学体系。
古希腊ຘ人曾把大量科学思想和哲学思想汇集在一起。柏拉图、亚里斯多德、欧几里得、阿基米得和托勒密等伟大人物，在两千年当中一直像巨人一样屹立在后代人的心目之ใ中。后来阿拉伯和欧洲的许多伟大思想家都没有能够越过古希腊人一步，在不引证古人的见解来支持其想法的情形下，都不敢提出自己的新见解。尤其是亚里斯多德，更是他们心目中ณ的泰斗。
到了十六和十七世纪，才有一些实验家，如伽利略๓和波义แ耳等，敢于提出古希腊人的见解并非全是正确的。伽利略๓推翻了亚里斯多德在物理学上的某些论断，并作了不少工作（牛顿后来的三大运动定律就是对伽利略๓这些工ื作所进行的概括）。尽管如此，欧洲当时的知识界仍然不敢背离他们长期以来所崇拜的希腊人。
1้00＝1้。
因此，72๐91就是7x1000加上2x10่0加上9๗x10再加上1。读出声的时候，就是七千二百九十一。
由á于我们对应用10่的各次幂已经非常习惯，所以我们只须写出他们所乘的数（如7๕291），其余的都可以略๓去。
其实，1้0่的幂次并不是什么神秘的东西。任何一个比一大的数的幂次都可以起到这样的效果。例如，假定我们现在想用8的幂来写出729๗1这个数，这时应当记住
8๖0่＝1；
81＝8๖；
82๐＝8x8＝64；
83＝8x8๖x8＝5๓1้2；
84＝8๖x8x8๖x8＝4๒096。
这样，我们就可以把7๕291写为1x8๖4加上6๔x8๖3加上1x8๖2加上7๕x81再加上3x80。（请你们自己把这个ฐ数算出来，并看看所得出的答数。）如果只写出各次幂所要乘的数字，它就应当是16173。因此，我们可以说16๔17๕3（八进制）＝72๐9๗1（十进制）。
八进制ๆ的优点在于除了0่以外，你只需记住七个数字。如果你想用数字8，那你可以写出8๖x83๑，而这就等于1x84๒。因此，不管任何时候，你都可以用1来代替8๖。所以十进制ๆ的8等于八进制ๆ的10；十进制的89等于八进制的13๑1，依次类推。但是，用八进制ๆ时，一个数所用的总字数要比用十进制时多。由á此可见，基数越小，所用的不同数字越少，但总字数则越多。
当你用二十进制时，7๕291้这个数将成为18๖x202加上4x2๐0่1再加上11x20่0่。在这种情形下，如果你把1้8写为＃，并把1้1写为％，你就可以说＃4๒％（二十进制）＝7291้（十进制ๆ）。用二十进制时你将不得不用19๗个不同的数字，但是每一个ฐ数所用的总字数就会少些。
十进制是一种很方便的进位制。用这种进位制时，既不必记住过多的数字，而且在写一个数时，又可不必用过多的字数。
什么是二进制数呢？在二进制的情况下，7๕291这个数等于1x21้2加上1้x211้加上1x2๐10加上0x2๐9加上0่x2๐8加上0x2๐7๕加上1้x26加上1x2๐5加上1้x2๐4加上1x2๐3加上0่x22加上1x2๐1再加上1x20。（请你们自己把这个数算出来，看看得出什么结果。但要记住29是9๗个2的乘๖积，亦即2x2x2x2๐x2x2x2x2x2＝51้2。）如果只写出数字，那ว就是11้100่0่11้11011้（二进制）＝729๗1้（十进制）。
由á于二进制数只需要用两ä个数字，即1和0่，所以做加法和乘๖法演算特别简单。但是即使一个很小的数，例如729๗1้，也要用很多位数表示ิ，因而很容易在我们头脑แ中造成混乱。
但是，电子计算机则可以使用一个双向开关。把开关拨向某一方向，即把电流接通时，它就代表1。把开关拨向另一方แ向，即把电流断开时，它就代表0。这样，通过操纵电å路，使它根据二进制的加法和乘๖法规则接通和断开，计算机就能以非常快的速度进行算术演算。同按十进制原理设计、用标有0到เ9๗的齿轮来进行演算的普通台式计算器相比，它的演算速度要快得多。